\documentclass[a4paper,french,11pt]{article}
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\usepackage{xcolor}
 
\newcommand\titre[1]{{\large\bfseries\uuline{#1}}\\} 
\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{exo}[theorem]{Exercice}


\geometry{margin={1cm,2cm}}
\pagestyle{fancy}
\setlength{\columnseprule}{0.5pt}

 
\begin{document}
\noindent

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion

\setcounter{theorem}{56}

\begin{multicols}{2}%

\label{semaine 1}

\titre{Semaine du 1er Septembre au 6 Septembre: Calcul de Dérivées }

\begin{exo}[Fonctions polynômiales]
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to x^2 $
\item {\small $ f: x \to x^3- 2x^2 +5x$}
\item {\small $f: x \to (x-2)(x+2)$} 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions rationnelles]
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to \dfrac{1}{x^2+1} $
\item {\small $f : x \to \dfrac{x^2 - 2x + 3}{2x + 5}$}
\item {\small $f : x \to \dfrac{x^3 + 2x -6}{x^2+1}$}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions exponentielles]
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to e^{x}+ e^{-x} $
\item $f : x \to e^{3x}$
\item $f : x \to e^{1-ax}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions logarithme]
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to \ln(x^3) $
\item $f : x \to x \ln(x) - x$
\item {\small $f(x)= \ln(2x) - \ln(x)$}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions Racine carrée]
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to \sqrt{2-x} $
\item $f : x \to \sqrt{\ln(x)}$
\item {\small $f : x \to \sqrt{x(x+1)}$}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to (\sqrt{x}+1) \times (x^2 - 2) $
\item $f : x \to \dfrac{1}{1-4x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonction composée]
Donner les dérivées des fonctions suivantes sous une forme la plus factorisée possible:
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ f: x \to (\ln(x))^3 $
\item  $f : x \to \dfrac{\sqrt{3x+2}}{x-5}$
\item $f : x \to x^2 \sqrt{2x-3}$
\item $f: x  \to \left( \dfrac{x+3}{x - 1} \right)^2$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\label{semaine 2}

\titre{Semaine du 7 Septembre au 13 Septembre}

\begin{exo}[Calcul littéral]
Factoriser chaque expression.
\begin{qmulti}{2}
\item $ A = (2x + 3)^2 + (x-2) (2x+3)$.
\item $ B = (2t - 7) - (5t + 1)(2t - 7)$. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Fractions]
Simplifier au maximum les expressions suivantes. 
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $C = \dfrac{9\times 8 \times 10}{6} - \dfrac{21 \times 13}{42}$.
\item $D = n(n+1) - 4n \times \dfrac{n+2}{6} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes en supprimant la racine du dénominateur le cas échéant.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ E = \dfrac{1 + 2x^2}{\sqrt{4 + 8x^2}} $.
\item $ F = (-1)^{n+1} + 2 (-1)^n + (-1)^{n+2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{3x+2} = e$.
\item $4x - 6 = - 10 + 6x $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $G = \ln \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{2} \right) + \ln \left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2} \right)$.
\item $H = e^{3 \ln(2)} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item {\small $f(x) = 2x^3 - 2\ln(x)$.}
\item $g(x) = (x^3+x) e^x$.
\item $h(x) = (\ln x)^2 $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $- x +4 \geq 2x-7$.
\item $(2x +5)(x-2)x^2 >0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\newpage
\label{semaine 3}
\titre{Semaine du 14 Septembre au 20 Septembre}

\begin{exo}[Calcul littéral]
Développer puis réduire chaque expression.
\begin{qmulti}{2}
\item $A = (x + 2)^2(x-2)^2$.
\item $B = (5x + 4)(2x+3) - (2x+5)$. 
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Fractions]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $C = \dfrac{x^8(x + x^4)}{x^3 + x^6}$.
\item $D = 1 + \dfrac{x^4 - x^2}{x^2 - 1} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $E = \sqrt{27} - \sqrt{75} + 4 \sqrt{12}$.
\item $F = 8^{n+1} - 4^n \times 2^{n+2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{3}{2}x + 5 = -\dfrac{4}{3}$.
\item $x^2 + 4x + 2 = 0 $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $G = \ln(\sqrt[5]{e})$.
\item $H = \ln(\sqrt[]{e^4}) - \ln(\sqrt[]{e^2})$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = x^2 e^x $.
\item $g(x) = \dfrac{1}{x^2 +1}$.
\item $h(x) = x \sqrt{x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $(2x-2)(4x+16) <0$ .
\item $2(x+1) < 3+2x $ .
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\vspace{60pt}
\label{semaine 4}
\titre{Semaine du 21 Septembre au 27 Septembre : Calcul de limites}

\begin{exo}[Somme de limites]
Calculez les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to + \infty} e^{-2x} + \ln(x)$.
\item $\li_{x \to - \infty} e^{-2x} + x^2$ .
\item $\li_{x \tos 0} \ln(x) - \dfrac{1}{x}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Produit de limites]
Calculez les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \tos 0} \dfrac{1}{x} \ln(x)$.
\item $\li_{x \to 0} e^{-x} |x|$.
\item $\li_{x \toi 1} \dfrac{1}{1-x} \ln \left(x-\dfrac{1}{2}\right) $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Quotient de limites]
Calculez les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x^2+3}{2-x}$.
\item $\li_{x \tos 0} \dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
\item $\li_{x \to + \infty} \dfrac{e^{-x}}{x^2 +x}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites de composée]
Calculez les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $ \li_{x \tos 2} \ln(x^2 - 4)$.
\item $ \li_{x \toi 0} e^{- 1/x}$.
\item $ \li_{x \to + \infty} \ln \left( \dfrac{1}{x} \right)$.  
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculez les limites suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $ \li_{x \toi 1}\; \dfrac{1}{x-1} + \ln(x)$.
\item $ \li_{x \tos 2} \ln\left( \dfrac{2}{x-2} \right)$.
\item $ \li_{x \to - \infty} \sqrt{e^{-x} + 2}$.  
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Forme indéterminée - polynôme]
En factorisant les expressions par le terme de plus haut degré, calculez les limites des polynômes suivants.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to + \infty} x^2 - x +2$.
\item $\li_{x \to - \infty} x^3 + x^2 -5$.
\item $\li_{x \to - \infty} x^{57} -x^{24} +5$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\begin{exo}[Forme indéterminée - fractions rationnelles]
En factorisant les expressions au numérateur et au dénominateur par le terme de plus haut degré et en simplifiant, calculez les limites des polynômes suivants.
\begin{qmulti}{3}
\item $\li_{x \to + \infty} \dfrac{x^3 - x +2}{x^2 +x}$.
\item $\li_{x \to - \infty} \dfrac{x^3 + x + 3}{x^4 + 3}$.
\item $\li_{x \to - \infty} \dfrac{x^2 - 4x +2}{3x^2 +2}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\newpage
\label{Semaine 5}
\titre{Semaine du 28 Septembre  au 4 Octobre}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item  $A = \dfrac{2+\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$. 
\item  $B  =\dfrac{10^{n+1} - 9 \times 10^n - 10^{n+2}}{20 \times 10^{n-2} + 8\times 10^{n-1} }$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2}{x} + 4 = 2$ .
\item $(-2x+4)(3x-5) = 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $C = \exp ( 4 \ln(e^{-3/4}))$ .
\item $D = \ln \left( \sqrt{5} + 2 \right) + \ln \left( \sqrt{5} - 2 \right)$. 
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{(x-1)^2} $.
\item $\lim\limits_{x \tos 0} \dfrac{\ln(\sqrt{x})}{x^3} $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = e^{x} - e^{-x}$.
\item $g(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{2x+5}$.
\item $h(x) = \sqrt{nx}e^{nx}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{x-2}{3} - \dfrac{1-x}{2} \geq 5$.
\item $\dfrac{5-3x}{x^2-1} \leq 0$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{2n} k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=1}^n 4^k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^n k(k-2)$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
Soit $x \in \R^+$. Montrer par récurrence que 
$$\forall n \in \N, \quad (1+x)^n \geq 1 + nx. $$ 
\end{exo}

\vspace{50pt}
\label{Semaine 6}
% Semaine 5
\titre{Semaine du 5 Octobre  au 11 Octobre}


\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A = \left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \right)^2$.
\item  $B = 2(-1)^{2n-1} + (-1)^{-n}(-1)^{-n+2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $ \ln(e^x - 3) = 0$
\item $ (2x + 5)^2 = 25$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Logarithme et Exponentielle]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $C = e^{- \ln(\ln(2))}$.
\item $D = \ln \left( \dfrac{1+ e^{2x}}{1+ e^{-2x}} \right)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to - \infty} 2^x$.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} (x^2 \sqrt{x} ) $.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = e^{-x}$.
\item $g(x) = \dfrac{1}{\ln (x)}$.
\item $h(x) = \dfrac{x \ln x - 1}{x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x} - 2e^x \geq 0$.
\item $\dfrac{x+5}{x-1} \leq \dfrac{x-3}{x+2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} $.
%\item $\displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 - k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+2} (k-2)^2$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
Soit la suite $u_0 > 0$ et $u_{n+1} = \ln(1+u_n)$. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$, $u_n$ est bien défini et $u_n >0$. 
\end{exo}

\newpage
\label{Semaine 7}
\titre{Semaine du 12 Octobre  au 18 Octobre}

\begin{exo}[Puissances et racines]
Simplifier au maximum les expressions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A = \dfrac{(x \sqrt{x})^4}{(x^3 \times x)^2}$.
\item  $B = 8^n - 4^n \times 2^{n+2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Fonctions usuelles]
\'Ecrire sans symbole de valeur absolue les nombres suivants :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $C = \left| 3 \ln(2) + \ln \left(\dfrac{1}{9}\right) \right|$.
\item $D = \left| \ln(e^2+1) \right|$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[\'Equations]
Résoudre les équations suivantes :
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $x^3 = x$.
\item $(x^2+1)^2 = (x^2 - 1)^2$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Limites]
Calculer les limites suivantes
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} x^2 \left( 1 - \dfrac{1}{x \sqrt{x}} \right) $.
\item $\lim\limits_{x \to + \infty} ((-x)^3\sqrt{x})$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Dérivées]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item \footnotesize{$f(x) = (x^2 - 2x+2)e^x$.}
\item $g(x) = \dfrac{1}{1-e^x}$.
\item $h(x) = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Inéquations]
Résoudre les inéquations suivantes.
\def\columnseprulecolor{\color{white}}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $e^{2x-3} - 2 \geq 0$.
\item $\dfrac{x+3}{x^2-1} \geq \dfrac{3}{x-1}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exo}

\begin{exo}[Récurrence]
%Donner le résultat de la somme ou du produit suivant :
%\def\columnseprulecolor{\color{white}}
%\begin{multicols}{3}
%\begin{enumerate}
%\item $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} 2^k$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} (2k-3)$.
%\item $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} (n-k+1)^3$.
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
On considère la suite $(u_n)_{n \in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{n + u_n}$. Montrer par récurrence que $(u_n)_{n \in \N}$ est croissante.
\end{exo}

\vspace{100pt}
\label{Semaine 8}
\titre{Semaine du 19 Octobre au 1er novembre: Calcul de sommes}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[Par récurrence]
Montrer les résultats suivants en utilisant un raisonnement par récurrence. 
\begin{qmulti}{2}
\item $\ds \sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
\item $\ds \sum_{k=1}^n k(k+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[En factorisant]
Calculer les sommes suivantes en utilisant la propriété de factorisation.
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=0}^n u_0 q^k$. 
\item $\ds \sum_{k=0}^n 3^{k-2}$.
\item $\ds \sum_{k=0}^n x^{2k+2}$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[En développant]
Calculer les sommes suivantes en développant les termes à l'intérieur.
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=0}^n k + k^2$. 
\item $\ds \sum_{k=0}^n k(k^2+1)$.
\item $\ds \sum_{k=0}^n 2k^3 + 3k$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}
Calculer les sommes en ajoutant ou retranchant des termes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=2}^n k^2$. 
\item $\ds \sum_{k=1}^{n-1} x^k$.
\item $\ds \sum_{k=2}^n k(k-1) $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[Changement d'indice]
Calculer les sommes suivantes à l'aide d'un changement d'indice.
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=2}^{n+2} x^{k-2}$. 
\item $\ds \sum_{k=3}^n (k-2)^2$.
\item $\ds \sum_{k=2}^{n+1} (k-1)^3 $.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[En utilisant une somme télescopique]
Calculer les sommes télescopiques suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=1}^n k^3 - (k-1)^3$. 
\item $\ds \sum_{k=0}^n e^{k+1} - e^k$.
\item $\ds \sum_{k=2}^n \ln\left( \dfrac{k+1}{k} \right)$.
\end{qmulti}
\end{exo}

\vspace{-10pt}
\begin{exo}[Binôme de Newton]
Calculer les sommes suivantes.
\begin{qmulti}{3}
\item $\ds \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} 2^k 3^{n-k}$. 
\item $\ds \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k}$.
\item $\ds \sum_{k=0}^n  \binom{n}{k} 2^k (-2)^{n-k}$.
\end{qmulti}
\end{exo}


%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{document}
